MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME.
En el movimiento circular uniforme, un cuerpo
describe un movimiento en el que el módulo de la velocidad permanece constante
durante el tiempo en que el cuerpo describe una trayectoria circular.
Aunque la rapidez del objeto es constante, su
velocidad no lo es: la velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la
trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica
la existencia de una aceleración -la aceleración centrípeta- que si bien en
este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.
La Naturaleza y tu día a día están llenos de
ejemplos de movimientos circulares
uniformes (m.c.u.). La propia Tierra es uno de ellos: da una vuelta
sobre su eje cada 24 horas. Los viejos tocadiscos o un ventilador son otros
buenos ejemplos de m.c.u.
El movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento de trayectoria
circular en el que la velocidad angular es constante. Esto
implica que describe ángulos
iguales en tiempos iguales. En él, la velocidad no cambia de
módulo pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria). Esto quiere decir que no
tiene aceleración tangencial ni aceleración angular, aunque
sí aceleración normal.
Eligiendo el origen de coordenadas para
estudiar el movimiento en el centro de la circunferencia, y conociendo su
radio R, podemos expresar el vector de posición en
la forma:
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
Algunas de las principales características del MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME (m.c.u.) son las
siguientes:
- La velocidad angular es constante (ω = cte).
- El vector velocidad es tangente en cada punto a la
trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el
movimiento cuenta con aceleración
normal.
- Tanto la aceleración angular (α) como
la aceleración tangencial (at) son nulas, ya
que que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante.
- Existe un periodo (T), que es el
tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que
las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La
expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida
en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.).
- Existe una frecuencia (f), que es el número
de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del
periodo.
POSICIÓN
La posición de
la partícula depende de su posición inicial y de la velocidad a
la que se desplaza. Ésta se puede calcular a partir del incremento angular, de
la velocidad angular y
de la velocidad tangencial (en
caso de conocer las velocidades es necesario saber el tiempo t que se ha movido el cuerpo o partícula).
POSICIÓN
SEGÚN EL INCREMENTO DEL ÁNGULO
En coordenadas
cartesianas tenemos:
POSICIÓN SEGÚN LA VELOCIDAD TANGENCIAL
En coordenadas
cartesianas tenemos:
En el MCU,
la velocidad
angular se puede calcular a partir del período o
la frecuencia,
ya que el período y
la frecuencia son
constantes.
A
diferencia del movimiento rectilíneo uniforme, una partícula en un movimiento
circular uniforme (MCU) sí que tiene aceleración, la aceleración centrípeta.
Esto se debe a que, aunque el módulo de la velocidad se mantiene constante, el vector cambia
constantemente de dirección. Ésta se calcula como:
ACELERACIÓN
ANGULAR Y TANGENCIAL
En el
movimiento circular uniforme (MCU), tanto la aceleración angular como la aceleración tangenciales son cero.
La velocidad angular en el MCU es constante, por lo que el período también será constante e irá definido por la
fórmula siguiente:
EJEMPLO:
Solución:
1. La frecuencia en ciclos/segundo se calcula dividiendo las
r.p.m. entre los 60 segundos que tiene un minuto:
3. La velocidad tangencial en un punto de la rueda
situado a 15 cm del eje, el radio de rotación será de r=15 cm, por lo
tanto:
EJERCICIOS RESUELTOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME
1) Un tocadiscos gira a 90 rpm. Halla su velocidad angular en radianes
por segundo y calcula su periodo y frecuencia.
Para pasar de revoluciones por minuto a radianes por segundo, solo
tenemos que recordar que una vuelta entera (360º, una revolución) equivale a 2π
radianes (o que media vuelta, 180º, son π radianes).
Con eso ya podemos hacer regla de tres:
1 vuelta → 2π radianes
90 vueltas → x radianes x = 180 π radianes
180 π radianes → 60 segundos
1 segundo → x segundos x = 3 π radianes/segundo
Ya tenemos la velocidad angular (ω). El periodo (T) se saca mediante la
fórmula:
ω = 2π / T
T = 2π /3π = 2/3 s
La frecuencia (f) es la inversa del periodo:
f = 1/T
f = 3/2 s-1
2) Una rueda de bicicleta
de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula:
a) su velocidad angular
b) su velocidad lineal en la llanta
c) su periodo
d) su frecuencia.
El apartado
a) se resuelve igual que
el ejercicio anterior:
1 vuelta → 2π radianes
200 vueltas → x radianes
x = 400π radianes
400π radianes → 60
segundos
1 segundo → x radianes x
= 20π/3 radianes/segundo
b) Para sacar la
velocidad lineal a partir de la angular, solo tenemos que multiplicar por el
radio (en metros).
Esto vale para calcular
cualquier magnitud lineal a partir de la angular.
v = ω·R
v = 20π/3·0,8 = 16,76
m/s
c) Ya vimos en el
ejercicio anterior cómo calcular el periodo a partir de la velocidad angular:
ω = 2π / T
T = 2π /(20π/3) = 3/10 s
d) La frecuencia,
acuérdate, es la inversa del periodo:
f = 1/T = 10/3 s-1
3) Un tiovivo gira a 30
revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal de
un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros.
Calcula la aceleración
normal para este último.
La velocidad angular es
la misma para los dos caballitos, sin importar lo lejos que estén del centro.
Si no fuera así, algunos
caballitos adelantarían a otros dentro del tiovivo. Si la calculas del mismo modo
que en ejercicios anteriores, verás que el resultado es de π radianes/segundo.
Pero la velocidad lineal
no es la misma para los dos, porque el caballito que esté más hacia fuera debe
recorrer un círculo mayor en el mismo tiempo. Para calcular las velocidades
lineales, multiplicamos las angulares por los respectivos radios:
Caballito 1: v = π · 1,5
= 4,71 m/s
Caballito 2: v = π · 2 =
6,28 m/s
Aunque sea un MCU,
existe una aceleración, llamada "normal" que es la responsable de que
el objeto se mueva en círculos en vez de en línea recta. Esta aceleración es
igual a la velocidad lineal al cuadrado dividida entre el radio:
an = v2
/R = 6,282/2 = 19,74
m/s2
4) Un MCU tiene una
frecuencia de 60 herzios.
Calcula:
a) su velocidad angular
b) su periodo
c) su velocidad angular
en revoluciones por minuto.
En primer lugar, medir
la frecuencia en herzios es lo mismo que medirla en segundos-1, así que no pienses
que eso cambia nada. A partir de la frecuencia, podemos sacar directamente el
periodo, y luego la velocidad angular (respondemos primero al apartado b y
luego al a)
T = 1/f = 1/60 s
ω = 2π / T = 2π / (1/60) = 120π rad/s
Para resolver el c, como
una revolución son 2π radianes, dividimos entre 2π para ver el número de vueltas
por segundo. Después multiplicamos por 60 para ver el número de vueltas (revoluciones)
por minuto:
120π rad/s : 2π = 60 rps
= 3600 vueltas por minuto
5) Si el periodo de un
MCU se duplica, ¿qué ocurre con...
a) ...su velocidad
angular?
b) ...su frecuencia?
c) ...su aceleración
normal?
Este es un típico
ejercicio en donde tenemos que operar "sin datos". En realidad no es
que falten datos, sino que tenemos que calcular lo que nos piden en función de
otras magnitudes. Por ejemplo...
a) la velocidad angular.
La fórmula era
ω = 2π / T
Si en vez de T hubiese
2T (porque el periodo se duplica) ¿cómo queda la nueva velocidad angular?
ω' = 2π / 2T = π / T
rad/s
O, lo que es lo mismo,
se queda a la mitad de lo que era originalmente.
b) su frecuencia. La
frecuencia es la inversa del periodo, por lo que si el periodo se duplica:
f = 1/T
f ' = 1/2T s-1
La frecuencia se ve
reducida a la mitad.
d) La aceleración normal
depende de la velocidad lineal y del radio. Pero la velocidad lineal depende de
la angular (v = ω·r, recuérdalo). Como ya hemos visto en el apartado a que la
velocidad angular se ve reducida a la mitad, también le pasa lo mismo a la velocidad
lineal. ¿Cómo afecta esto a la aceleración normal?
an' = (v/2)2
/R
an' = v2
/4R
Es decir, como la
velocidad lineal es la mitad, al estar en la fórmula elevada al cuadrado, la aceleración
normal se queda en la cuarta parte.
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